A bote pronto es una expresión que significa que algo se hace sin preparación; tal y como se llega al asunto, se da una respuesta.
Así, por ejemplo, puede que si nos preguntan algo que no sabemos con exactitud, respondamos aclarando que lo hacemos, «a bote pronto», sin preparar la respuesta. O, por poner otro ejemplo, si algo está improvisado, podemos decir que se ha hecho «a bote pronto».
El origen de la expresión viene claramente del juego de la pelota, cuando esta se golpea tras el bote, sin preparar mejor el tiro.
También valdría la forma de bote pronto.
Fuente: http://hombrerefranero.blogspot.com/search?updated-max=2014-02-28T19:09:00%2B01:00&max-results=5&start=5&by-date=false