Esta expresión a lo mejor la conocéis los amantes del boxeo, y para vuestra alegría tengo que decir que es una expresión que se utiliza mucho en español.
Tirar la toalla significa darse por perdido, renunciar a continuar la lucha, abandonar. Como os comentaba antes, esta expresión proviene del mundo del boxeo y cuando el boxeador ya no puede más y se da por perdido, las reglas dicen que su entrenador debe arrojar una toalla al ring, lo cual significa que abandona el combate.
Hay veces en la vida que por más que intentamos algo, al final no lo vamos a conseguir y para no desgastarnos de forma excesiva lo mejor es abandonar la lucha y saber tirar la toalla a tiempo y centrar nuestros esfuerzos en buscar una alternativa al anterior objetivo no logrado.
En cualquier caso, tampoco tiréis la toalla a la primera. Las cosas difíciles son difíciles de conseguir y si requieren un esfuerzo especial para conseguirlas, cuando lo hacemos, el premio y la satisfacción son mucho mayores.
Fuente: https://expresionesyrefranes.com/2007/03/06/tirar-la-toalla/