Agarrarse una turca significa emborracharse.
Batús, en La sabiduría de las naciones, señala que agarrarse una turca alude a los turcos o mahometanos a los cuales su religión les prohíbe tomar bebidas alcohólicas. Cuando infringen la ley, se entregan con tal placer y exceso que les produce un efecto terrible, hasta coger lo que se llama una turca o borrachera.
Fuente: http://www.cervantesvirtual.com/obra-visor/dichos-castellanos/html/